Question

数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}满足b1＝2，bn+1＝bn+3?2an．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）

数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}满足b1＝2，bn+1＝bn+3?2an．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn＝2n?log2bn+1（n∈N*），Tn为{cn}的前n项和，求Tn．

Answer 1

（Ⅰ）由已知Sn＝n2，当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
当n=1时，a₁=1适合上式，
∴a_n=2n-1．
由bn+1＝bn+3?2n，得bn+1?bn＝3?2n，
∴bn+1＝3?(22n?1+22n?3+…+2)+2
=3?

2(4n?1)

4?1

+2
=2²ⁿ⁺¹
=2^2（n+1）-1，
∵b₁=2满足上式，∴bn＝22n?1．
（Ⅱ）∵cn＝2n?log222n+1=（2n+1）?2ⁿ，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=3?2+5?2²+…+（2n+1）?2ⁿ，…（8分）
2Tn＝3?22+5?23+…+(2n?1)?2n+(2n+1)?2n+1，
两式相减得：?Tn＝3?2+2?(22+23+…+2n)?(2n+1)?2n+1
=2+2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）?2ⁿ⁺¹
=2（2ⁿ⁺¹-1）-（2n+1）?2ⁿ⁺¹
=-（2n-1）?2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn＝(2n?1)?2n+1+2．…（13分）