Question

已知x→0时，函数f（x）=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则（　　）A．k=1，c=4B．k=1，c=-4C．k=3，c=4D

已知x→0时，函数f（x）=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则（　　）A．k=1，c=4B．k=1，c=-4C．k=3，c=4D．k=3，c=-4

Answer 1

∵
正弦函数在x=0处的带佩亚诺型的泰勒展开式：
sinx＝

n

k＝1

(?1)k?1

x2k?1

(2k?1)!

+o(x2k?1)
∴
函数在x=0处的三阶泰勒展开式分别为：
sinx＝x?

x3

3!

+o(x3)
sin(3x)＝3x?

(3x)3

3!

+o(x3)
∴
f（x）=3sinx-sin（3x）
=3[x?

x3

3!

+o(x3)]?[3x?

(3x)3

3!

+o(x3)]
=3x?

x3

2

?3x+

9x3

2

+o(x3)
=4x³+o（x³）
∴

lim

x→0

3sinx?sin(3x)

cxk

＝

lim

x→0

4x3+o(x3)

cxk

=1
对于分子，分母均为多项式且x→0来讲，当极限为非零常数时，分子和分母的最高幂次相等
∴k=3
∴c=4
故选：C