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已知x→0时,函数f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小,则( )A.k=1,c=4B.k=1,c=-4C.k=3,c=4D
已知x→0时,函数f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小,则()A.k=1,c=4B.k=1,c=-4C.k=3,c=4D.k=3,c=-4...
已知x→0时,函数f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小,则( )A.k=1,c=4B.k=1,c=-4C.k=3,c=4D.k=3,c=-4
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∵
正弦函数在x=0处的带佩亚诺型的泰勒展开式:
sinx=
n |
k=1 |
x2k?1 |
(2k?1)! |
∴
函数在x=0处的三阶泰勒展开式分别为:
sinx=x?
x3 |
3! |
sin(3x)=3x?
(3x)3 |
3! |
∴
f(x)=3sinx-sin(3x)
=3[x?
x3 |
3! |
(3x)3 |
3! |
=3x?
x3 |
2 |
9x3 |
2 |
=4x3+o(x3)
∴
lim |
x→0 |
3sinx?sin(3x) |
cxk |
lim |
x→0 |
4x3+o(x3) |
cxk |
对于分子,分母均为多项式且x→0来讲,当极限为非零常数时,分子和分母的最高幂次相等
∴k=3
∴c=4
故选:C
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