Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）=|t（x+4x）-5|，其中常函数t＞0（1）若函数f（x）分别在区间（0

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）=|t（x+4x）-5|，其中常函数t＞0（1）若函数f（x）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，试求t的取值范围；（2）当t=1时，方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4 ①证明：x1?x2?x3?x4=16；②是否存在实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：（1）解：∵x∈（0，+∞），
∴x+

4

x

≥2

x? 4 x

＝4，当x=2时取最小值，且在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
要使函数f（x）=|t（x+

4

x

）-5|分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，
则g（x）=t（x+

4

x

）-5≥0，即g（x）_min=4t-5≥0，
∴t≥

5

4

；
（2）①证明：当t=1时，f（x）=|（x+

4

x

）-5|，其图象如图，
要使f（x）=m有4个根，则0＜m＜1，
令g（x）=m，则x²-（5+m）x+4=0，
∴x₁x₄=4，
令g（x）=-m，
则x²-（5-m）x+4=0，
∴x₂x₃=4．
∴x₁?x₂?x₃?x₄=16；
②解：令f（x）=0，解得：x=1或x=4．
当x∈（1，2）时，f（x）=5-（x+

4

x

），
∴f(a)＝5?(a+

4

a

)，f(b)＝5?(b+

4

b

)，
由

f(a)

a

＝

f(b)

b

＝m，得5b-ab-

4b

a

＝

4b2?4a2

ab

，即5ab+4a+4b=0，
∵a，b∈（1，2），
∴上式不成立，即实数a，b不存在；
当x∈（4，+∞）时，f（x）=x+

4

x

?5，
由

f(a)

a

＝

f(b)

b

＝m，得ab+

4b

a

?5b＝ab+

4a

b

?5a，
整理得：

5

4

＝

a+b

ab

，即

1

a

+

1

b

＝

5

4

．
∵a≥4，b≥4，
∴

1

a

+

1

b

≤

1

4

+

1

4

＝

1

2

，与

1

a

+

1

b

＝

5

4

矛盾，即实数a，b不存在；
当x∈（0，1）时，f（x）=x+

4

x

?5，
由f（a）=mb，f（b）=ma可得a+b=5，
∵a，b∈（0，1），矛盾，即实数a，b不存在；
当x∈（2，4）时，f（x）=5-（x+

4

x

），
由f（a）=mb，f（b）=ma可得a+b=5，
再由f（a）=mb，得m=

5a?a2?4

ab

，把b=5-a代入得，
m＝1?

4

5a?a2

，
∵2＜a＜4，
∴m∈(?∞，

9

25

]∪(2，+∞)．
综上，存在实数a，b∈（2，4），使得函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]，
此时m的范围为(?∞，

9

25

]∪(2，+∞)．