已知函数f(x)＝ax2+1bx+c(a，b，c∈R)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)＝52．（1）求a，b，c的值；（2）当x∈（
已知函数f(x)＝ax2+1bx+c(a，b，c∈R)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)＝52．（1）求a，b，c的值；（2）当x∈（0，+∞）时，讨论函数的单调性，并写...
已知函数f(x)＝ax2+1bx+c(a，b，c∈R)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)＝52．（1）求a，b，c的值；（2）当x∈（0，+∞）时，讨论函数的单调性，并写出证明过程．
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（1）∵f（x）为奇函数．
∴f（-x）=-f（x），
f(x)＝
，?f(x)＝
∴对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
＝
恒成立
∴c=0（2分）
又f(1)＝
＝2，且f(2)＝
＝
可得a=b=1（4分）
∴a=b=1，c=0（5分）
（2）f(x)＝
得x1，x2是（0，+∞）上任意两实数，且x1＜x2
f(x1)?f(x2)＝
?
＝
=
＝
（7分）
当x1，x2∈（0，1）时，x1x2-1＜0，x1-x2＜0，x1x2＞0
∴
∴f（-x）=-f（x），
f(x)＝
| ax2+1 |
| ?bx+c |
| ax2+1 |
| ?bx?c |
∴对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
| ax2+1 |
| ?bx+c |
| ax2+1 |
| ?bx?c |
∴c=0（2分）
又f(1)＝
| a+1 |
| b |
| 4a+1 |
| 2b |
| 5 |
| 2 |
可得a=b=1（4分）
∴a=b=1，c=0（5分）
（2）f(x)＝
| x2+1 |
| x |
得x1，x2是（0，+∞）上任意两实数，且x1＜x2
f(x1)?f(x2)＝
| ||
| x1 |
| ||
| x2 |
| ||||
| x1x2 |
=
| x1x2(x1?x2)+(x2?x1) |
| x1x2 |
| (x1?x2)(x1x2?1) |
| x1x2 |
当x1，x2∈（0，1）时，x1x2-1＜0，x1-x2＜0，x1x2＞0
∴
| (x1?x2)(x1x2?1) |
x1x
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