Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为 (2 3 ，0) 、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=4

如图，已知A、B两点的坐标分别为 (2 3 ，0) 、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为______．

Answer 1

∵OB=2，OA=2 3 ， ∴AB= OA 2 + OB 2 =4， ∵∠AOP=45°， P点横纵坐标相等，可设为a， ∵∠AOB=90°， ∴AB是直径， ∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（ 3 ，1）， P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2． 过点C作CF ∥ OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F， ∴∠CFP=90°， ∴PF=a-1，CF=a- 3 ，PC=2， ∴（a- 3 ） 2 +（a-1） 2 =2 2 ，舍去不合适的根， 可得a=1+ 3 ，P（1+ 3 ，1+ 3 ）； ∵P与P′关于圆心（ 3 ，1）对称， ∴P′（ 3 -1，1- 3 ）． 故答案为：（ 3 +1， 3 +1）或（ 3 -1，1- 3 ）