设总体X的分布律为P（X=k）=（1-p）k-1p，k=1，2，…，其中p为未知参数，X1，X2，…，Xn为取自总体X的样
设总体X的分布律为P（X=k）=（1-p）k-1p，k=1，2，…，其中p为未知参数，X1，X2，…，Xn为取自总体X的样本，试求p的矩估计和最大似然估计．...
设总体X的分布律为P（X=k）=（1-p）k-1p，k=1，2，…，其中p为未知参数，X1，X2，…，Xn为取自总体X的样本，试求p的矩估计和最大似然估计．
展开
1个回答
展开全部
EX＝
kP(X＝k)＝
k(1?p)k?1p．
为了计算上述级数的和，我们考虑幂级数
xk＝
，x∈(?1，1)．
对该式两边运用逐项求导定理可得
kxk?1＝
，x∈(?1，1)．
由于1-p∈（-1，1），因此有
k(1?p)k?1p＝p
k(1?p)k?1＝p
＝
．
也即EX＝
，因此p＝
．则p的矩估计量为：ρ=
．
为求p的最大似然估计量，先设随机样本X1，X2，…，Xn的观测值分别为x1，x2，…，xn，
则似然函数：L（ρ）=
P(XK＝xk)＝(1?p)
xk?nρn．
为了便于求最大值，对似然函数求对数得：
lnL(p)＝[
xk?n]ln(1?p)+nlnp．
对参数p求导得：
＝
+
＝
| ∞ |
 |
| k＝1 |
| ∞ |
|
| k＝1 |
为了计算上述级数的和，我们考虑幂级数
| ∞ |
|
| k＝1 |
| x |
| 1?x |
对该式两边运用逐项求导定理可得
| ∞ |
|
| k＝1 |
| 1 |
| (1?x)2 |
由于1-p∈（-1，1），因此有
| ∞ |
|
| k＝1 |
| ∞ |
|
| k＝1 |
| 1 |
| [1?(1?p)]2 |
| 1 |
| p |
也即EX＝
| 1 |
| p |
| 1 |
| EX |
| 1 | ||
|
为求p的最大似然估计量，先设随机样本X1，X2，…，Xn的观测值分别为x1，x2，…，xn，
则似然函数：L（ρ）=
| ||
| k＝1 |
| n |
|
| k＝1 |
为了便于求最大值，对似然函数求对数得：
lnL(p)＝[
| n |
|
| k＝1 |
对参数p求导得：
| d[lnL(p)] |
| dp |
[
| |||
| p?1 |
| n |
| p |
