Question

已知曲线y=ax（a＞0）与曲线y=lnx在点（x0，y0）处有公共切线，求：（1）常数a及切点（x0，y0）；（2）两

已知曲线y=ax（a＞0）与曲线y=lnx在点（x0，y0）处有公共切线，求：（1）常数a及切点（x0，y0）；（2）两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积Vx．

Answer 1

（1）因为曲线y=a

x

（a＞0）与曲线y=ln

x

在点（x₀，y₀）处有公共切线，
所以(a

x

)′|x0＝(ln

x

)|x0，且y0＝a

x0

，y0＝ln

x0

∴

a 2 x0 ＝ 1 2x0 y0＝a x0 y0＝ 1 2 lnx0

∴解得：
a＝

1

e

，(x0，y0)＝(e2，1)
（2）V_x=π

∫

e2 0

(

x

e

)2dx?π

∫

e2 1

(

1

2

lnx)2dx
而

∫

e2 0

(

x

e

)2dx=

1

e2

∫

e2 0

xdx＝

1

2e2

x2

|

e2 0

＝

1

2

e2

∫

e2 1

(

1

2

lnx)2dx=

1

4

∫

e2 1

ln2xdx=

1

4

[xln2x

|

e2 1

?2

∫

e2 1

lnxdx]=

1

4

[4e2?2xlnx

|

e2 1

+2

∫

e2 1

dx]＝

1

2

(e2?1)
∴V