Question

已知正实数a，b满足a+2b=1，则 a 2 +4 b 2 + 1 ab 的最小值为（　　） A． 7

已知正实数a，b满足a+2b=1，则 a 2 +4 b 2 + 1 ab 的最小值为（　　） A． 7 2 B．4 C． 161 36 D． 17 2

Answer 1

∵已知正实数a，b满足a+2b=1，∴1=a+2b≥2 2ab ，当且仅当a=2b时，取等号．解得ab≤ 1 8 ，即ab∈（0， 1 8 ]． 再由 （a+2b） 2 =a 2 +4b 2 +4ab=1，故 a 2 +4 b 2 + 1 ab =1-4ab+ 1 ab ． 把ab当做自变量，则1-4ab+ 1 ab 在（0， 1 8 ]上是减函数，故当ab= 1 8 时，1-4ab+ 1 ab 取得最小值为 1- 1 2 +8= 17 2 ， 故选D．