Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=150．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2an+（-1）nan

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=150．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2an+（-1）nan，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=150，
∴

15a1+ 15×14 2 d＝150 a1+2d＝5

，
解得a₁=3，d=1，
∴a_n=3+（n-1）=n+2．
（2）b_n=2an+（-1）ⁿa_n=2ⁿ⁺²+（-1）ⁿ?（n+2），
当n为偶数时，
T_n=2³-3+2⁴+4+…+2ⁿ⁺²+（-1）ⁿ?（n+2）
=（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺²）+（-3+4）+…+（-n-1+n+2）
=

8(1?2n)

1?2

+

n

2

=2n+3+

n

2

?8．
当n为奇数时，
T_n=2³-3+2⁴+4+…+2ⁿ⁺²+（-1）ⁿ?（n+2）
=（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺²）+（-3+4）+…+（-n+n+1）-（n+2）
=

8(1?2n)

1?2

+

n?1

2

?n?2
=2n+3?

n

2

?

21

2

．
∴T_n=

2n+3+ n 2 ?8，n为正偶数 2n+3? n 2 ? 21 2 ，n为正奇数

．