Question

已知正数数列{an}的前n项和Sn，且对任意的正整数n满足2Sn＝an+1（1）求数列{an}的通项公式（2）设bn＝1an

已知正数数列{an}的前n项和Sn，且对任意的正整数n满足2Sn＝an+1（1）求数列{an}的通项公式（2）设bn＝1an?an+1，数列{bn}的前n项和为Bn，求Bn范围．

Answer 1

（1）由2

Sn

=a_n+1，n=1代入得a₁=1，
两边平方得4S_n=（a_n+1）²（1），
n≥2时，4S_n-1=（a_n-1+1）²（2），
（1）-（2），得4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
∴（a_n-1）²-（a_n-1+1）²=0（3分）
∴[（a_n-1）+（a_n-1+1）]?[（a_n-1）-（a_n-1+1）]=0，
由正数数列{a_n}，得a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴有a_n=2n-1；
（2）bn＝

1

anan+1

=

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n?1

?

1

2n+1

），
∴B_n=

1

2

（1?

1

3

+

1

3

?

1

5

+…+

1

2n?1

?

1

2n+1

）=

1

2

?

2n

2n+1

=

n

2n+1

=

1

2

+

? 1 2

2n+1

，
∵n≥1，
∴2n+1≥3，
∴

1

3

≤B_n＜

1

2

．