Question

（2006?北京）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0）

（2006?北京）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a，b，c的值．

Answer 1

（Ⅰ）由图象可知，在（-∝，1）上f'（x）＞0，在（1，2）上f'（x）＜0．
在（2，+∝）上f'（x）＞0．
故f（x）在（-∝，1），（2，+∝）上递增，在（1，2）上递减．
因此f（x）在x=1处取得极大值，所以x₀=1．
（Ⅱ）f'（x）=3ax²+2bx+c，
由f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，
得

3a+2b+c＝0 12a+4b+c＝0 a+b+c＝5

解得a=2，b=-9，c=12．