Question

已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x 2 +bx+c经过A（1，1）、B（0，4）两点，M为抛物线的顶点．（1）

已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x 2 +bx+c经过A（1，1）、B（0，4）两点，M为抛物线的顶点．（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）设由（1）求得的抛物线的对称轴为直线l，点A关于直线l的对称点为点C，AC与直线l相交于点D，联结OD、OC．请直接写出C与D两点的坐标，并求∠COM+∠DOM的度数．

Answer 1

（1）由抛物线y=x 2 +bx+c经过A（1，1）、B（0，4）两点穗返洞碰， 得 1+b+c=1 c=4. 解得 b=-4 c=4. ∴所求抛物线的表达式为y=x 2 -4x+4． 由y=x 2 -4x+4，猜颤饥得y=（x-2） 2 ． 即得该抛物线的顶点M的坐标为（2，0）． （2）由（1）得抛物线的对称轴是直线x=2． 根据题意，C与D两点的坐标分别是C（3，1）、D（2，1）． 设点D关于x轴的对称点为点E，连接OE，CE． 则点E的坐标为E（2，-1），且∠DOM=∠EOM． 利用两点间距离公式， 得 OC= 3 2 + 1 2 = 10 ， OE= 2 2 + (-1) 2 = 5 ， CE= (3-2) 2 + (1+1) 2 = 5 ． ∴OE=CE，OC 2 =10，OE 2 +CE 2 =5+5=10． 即得OE 2 +CE 2 =OC 2 ． ∴∠OEC=90° 于是，由OE=CE，得∠COE=45°． 即得∠COM+∠DOM=∠COE=45°．