Question

已知函数f(x)＝mx?2lnx?mx(m∈R)（1）若f′（1）=2，求m的值；（2）若函数y=f（x）在[1，+∞）上为单调函

已知函数f(x)＝mx?2lnx?mx(m∈R)（1）若f′（1）=2，求m的值；（2）若函数y=f（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

（1）f′(x)＝

mx2?2x+m

x2

，由已知，f'（1）=m-2+m=2，
所以m=2；笑蔽
（2）若函数y=f（x）在[1，+∞）上为碰衫州单调函数，则在[1，+∞）上
有f′(x)＝

mx2?2x+m

x2

≥0恒成立，或f′(x)＝

mx2?2x+m

x2

≤0恒成立
即m≥

2x

x2+1

，或m≤

2x

x2+1

对x∈[1，+∞）恒成立，
因为

2x

x2+1

＝

2

x+ 1 x

，
而塌仿当x∈[1，+∞）时，x+

1

x

∈[2，+∞），故

2x

x2+1

∈(0，1]，
所以m≥1或m≤0．
即m的取值范围是m≥1或m≤0．