Question

已知函数f(x)=ln1/x-ax2+x(a >0),若f(x)是单调函数，求的取值范围

Answer 1

f(x)=ln1/x-ax2+x(a >0)的定义域是x>0。
f'(x)=-1/x-2ax+1=(-2ax^2+x-1)/x=[-2a(x-1/4a)^2+1/8a-1]/x
当a>=1/8，即1/8a-1<=0时，f'(x)<=0，f(x)是单调递减函数。
当0<x<1/8时，设x1=1/4a-√(1/16a^2-1/2a)，x2=1/4a+√(1/16a^2-1/2a)。
f(x)在(0,x1)上递减，在(x1,x2)上递增，在(x2,+无穷)上递减，不单调。
所以，若f(x)是单调函数，则a的取值范围是[1/8,+无穷)

Answer 2

定义域是x>0
f'(x)=-1/x-2ax+1=-(1/x+2ax)+1
∵a>0，x>0，∴1/x+2ax≥2√(2a)，∴f'(x)≤-2√(2a)+1，
若f(x)是单调函数，则有f'(x)≤-2√(2a)+1≤0
解得a≥1/8，
所以a∈[1/8，+∞)。

Answer 3

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