Question

已知函数f x=ln(x+1)-ax2+1/x+1(a属于R)若fx在定义域内是单调函数，求实数

的取值范围

Answer 1

f(x)=ln(x+1)-ax²+1/x+1
定义域，x+1>0且x≠0，即x∈(-1,0)∪(0,+∞)
f'(x)=1/(x+1)-2ax-1/x²
=[x²-2a(x+1)x³-(x+1)]/(x+1)x²
=-(2ax⁴+2ax³-x²+x+1)/(x+1)x²
令g(x)=2ax⁴+2ax³-x²+x+1 则由于f(x)单调函数
g(x)在区间(-1,0)∪(0,+∞)，恒有g(x)≥0，或者g(x)≤0
而又因为g(0) = 1, g(-1)=-1，且g(x)是多项式函数，在实数域是连续函数。
因此g(x)在x=-1的某个邻域有g(x)≤0恒成立，而在x=0的某个邻域有g(x)≥0恒成立
即g(x)在区间(-1,0)∪(0,+∞)，不可能恒有g(x)≥0，或者g(x)≤0

因此，这样的a不存在。