Question

（2014?平谷区一模）如图，在△ABC中，D为AB边上一点、F为AC的中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连

（2014?平谷区一模）如图，在△ABC中，D为AB边上一点、F为AC的中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连结AE．（1）求证：四边形ADCE为平行四边形．（2）若EF=22，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．

Answer 1

（1）证明：∵CE∥AB，∴∠DAF=∠ECF．
∵F为AC的中点，
∴AF=CF．
在△DAF和△ECF中

∠DAF＝∠ECF AF＝CF ∠AFD＝∠CFE

∴△DAF≌△ECF．
∴AD=CE．
∵CE∥AB，
∴四边形ADCE为平行四边形．
（2）作FH⊥DC于点H． 
∵四边形ADCE为平行四边形．
∴AE∥DC，DF=EF=2

2

，
∴∠FDC=∠AED=45°．
在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF=2

2

，∠FDC=45°，
∴sin∠FDC=

FH

DF

＝

2

2

，得FH=2，
tan∠FDC=

HF

HD

＝1，得DH=2．
在Rt△CFH中，∠FHC=90°，FH=2，∠FCD=30°，∴FC=4．
由勾股定理，得HC=2

3

．
∴DC=DH+HC=2+2

3

．