Question

已知数列{an}满足：a1+a2λ+a3λ2+…+anλn?1＝n2+2n（其中常数λ＞0，n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项

已知数列{an}满足：a1+a2λ+a3λ2+…+anλn?1＝n2+2n（其中常数λ＞0，n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：当λ=4时，数列{an}中的任何三项都不可能成等比数列；（Ⅲ）设Sn为数列{an}的前n项和．求证：若任意n∈N*，（1-λ）Sn+λan≥3．

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：由a1+

a2

λ

+

a3

λ2

+…+

an

λn?1

＝n2+2n①，
取n=1时，求得a₁=3，
当n≥2时，有a1+

a2

λ

+

a3

λ2

+…+

an?1

λn?2

＝(n?1)2+2(n?1)②，
①-②得：

an

λn?1

＝2n+1．∴an＝(2n+1)?λn?1(n≥2，n∈N*)．
又a₁=3也适合上式，
所以，an＝(2n+1)?λn?1(n∈N*)．
（Ⅱ）证明：当λ=4时，an＝(2n+1)?4n?1．
下面用反证法证明
假设存在a_r，a_s，a_t成等比数列，
则[（2r+1）?4^r-1]?[（2t+1）?4^t-1]=（2s+1）²?4^2s-2．
整理得（2r+1）（2t+1）?4^r+t-2s=（2s+1）²．
等式右边为奇数，要使左边等于右边，则r+t-2s=0．
所以，（2r+1）（2t+1）=（r+t+1）²，整理得（r-t）²=0，∴r=t．这与r≠t矛盾，
故不存在这样的正整数r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比数列．
（Ⅲ）证明：S_n=a₁+a₂+…+a_n
=3+5λ+7λ²+…+（2n+1）λ^n-1．
当λ=1时，Sn＝3+5+7+…+(2n+1)＝

(3+2n+1)n

2

＝n2+2n．
当λ≠1时，S_n=3+5λ+7λ²+…+（2n+1）λ^n-1③．
λSn＝3λ+5λ2+…+(2n?1)λn?1+(2n+1)λn④．
③-④得：(1?λ)Sn＝3+2(λ+λ2+…+λn?1)?(2n+1)λn
=3+2×

λ(1?λn?1)

1?λ

?(2n+1)λn．
所以，当λ=1时，不等式左边=（1-λ）S_n+λa_n=a_n=2n+1≥3，结论显然成立；
当λ≠1时，不等式左边=(1?λ)Sn+λan＝3+2×

λ(1?λn?1)

1?λ

?(2n+1)λn+λan
=3+2×

λ(1?λn?1)

1?λ

．
而λ＞0，1-λ和1-λ^n-1同号，故

λ(1?λn?1)

1?λ

≥0．
∴（1-λ）S_n+λa_n≥3．
综上，（1-λ）S_n+λa_n≥3对任意n∈N^*都成立．