Question

已知三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＋c＝2b，且A－C＝兀／2，则sinB的值为

Answer 1

解：∵A-C=π/2 即 A=π/2+C
∴B=π-A-C=π-（C+π/2）-C=π/2-2C
∴C=π/4-B/2 A=3π/4-B/2
∵a＋c＝2b
∴sinA+sinC=2sinB（正弦定理）
∴sin（3π/4-B/2 ）+sin(π/4-B/2)=2sinB
(sin3π/4cosB/2-sinB/2cos3π/4)+(sinπ/4cosB/2-sinB/2cosπ/4)=2sinB
(√2/2cosB/2+√2/2sinB/2)+(√2/2cosB/2-√2/2sinB/2)=2sinB
∴√2cosB/2=2sinB=4sinB/2cosB/2
即sinB/2=√2/4
则cosB/2=√（1-sin²B/2）=√14/4
故sinB=2sinB/2cosB/2=2×√2/4×√14/4=√7/4