Question

求助几道初三数学竞赛几道小题解答详细过程

1.设直角三角形三条边之比为1:2k:3k^2,则k的值为---?

2.已知在圆o中,AB和CD为两条不相交的弦,AB弧+CD弧=BC弧+DA弧,AB=10,CD=6,两个弓形的面积为x,则[x]=---?

3.四边形ABCD为正方形,以BC边为直径在正方形内作半圆o,在过定点A作半圆O的切线(切点为F)交边CD 于E,求sin角DAE=---?

望有详细的过程!!谢谢

Answer 1

(1)
设三边为abc，a:b:c=1:2k:3k''（k>0）
当0<k<1/2时，a为斜边，则b''+c''=a''
代入，9k''''+4k''-1=0解得k＝sqr{[sqr(52)-4]/18}<1/2 满足条件
当1/2<k<2/3时，b为斜边，则a''+c''=b''
代入，9k''''-4k''+1=0，无解
当k>2/3时，c为斜边，则a''+b''=c''
代入，9k''''-4k''-1=0,解得k＝sqr{[sqr(52)+4]/18}>2/3 满足条件
k＝1/2或者k=2/3均不成立，所以k＝sqr{[sqr(52)-4]/18}或者sqr{[sqr(52)+4]/18}
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‘为次方，几个就是几次方，sqr为开二次方根
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(2)

第一步确定AB和CD得分布，
分两种情况考虑，
1，AB和CD在圆得同一侧（即不存在任何一条不与两条弦相交的直径可以把两条弦分在两边）
我们固定AB，CD分布会有两种情况，一种劣弧AC<劣弧BC，此时AB+CD无论如何都等于BC＋AD，根据已知条件无法确定圆的半径，无解
如果劣弧AC>BC,那么劣弧AB将远大于AD＋BC，不成立，排除。
2，AB和CD在圆的不同侧（即存在……）
同样先固定AB，如果劣弧AC<BC，画图后可以明显看出劣弧BC和AD分别将AB和CD中的一个包含，所以他们的和一定也比AB+CD大，假设不成立，排除
如果AC>BC，此时AB+BC+CD+AD刚好是整个圆，可以得出角AOB+角COD=180度，连接DO并延长，交圆于另一点E，连接CE，角COD+角COE=180度，所以角COE=角AOB，故CE=AB=6，因为DE是直径，所以角DCE是直角，所以DE＝sqr（CD''+CE'')=sqr（136），所以圆半径为sqr（34）……半径求出来了这个题就没难度了，后面的我不写了

(3)
首先整理可求出数据，设正方形边长为2
连接DF,OF,AO，OF与AD交与点G，可得出AO=sqr（5），OF=1,AD=2sqr（2），AO=sqr(5),OF⊥AF,连接BF，由于AB和AF都是由A引出得切线，所以AB=AF,AO⊥BF，而BD是圆o得直径，所以DF⊥BF，所以AO‖DF,所以△AGO∽△FGD,设BF和AO的交点为H，
sin∠OAB=OB/OA=1/sqr（5）
BH＝AB*sin∠OAB＝2/sqr（5）
BF＝2BH＝4/sqr(5)
DF=sqr(BD''-BF'')=2/sqr(5)
因为GO:GF=AO:DF＝sqr(5):2/sqr(5)=5/2
而GO+GF=OF=1
所以GF=2/7,又因为AF=2,AF⊥OF,所以
AG＝sqr(AF''+GF'')=10sqr(2)/7
所以sin∠DAE=GF:GA=sqr(2)/10

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累死鸟。。。
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Answer 2

1.k>1,1+(2k)^2=(3k^2)^2
0<k<1,(2k)^2+(3k^2)^2=1