Question

初三数学竞赛题。要求有详细过程，用初中方法解答。谢谢

1、若函数y=kx(k>0)与函数y=1/x的图像相交于A、C两点，AB垂直X轴与B，则三角形ABC的，面积为？
2、已知正整数a,b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a,b中较大的数是？

Answer 1

1、假设A在第一象限。
解方程组y=kx与y=1/x，可得x（A）＝根号下（1/k），y（A）＝根号下k；x（C）＝-根号下（1/k），y（C）＝根号下k。
三角形ABC可以分成两个三角形：OAB和OBC，两个三角形面积都是1/2，很容易看出来。当然我们也可以通过计算获得：
比如，三角形OAB的面积＝1/2*OB*AB＝1/2*x（A）*y（A）＝1/2*根号下（1/k）*根号下k＝1/2。
三角形OBC也一样，底边OB长度也等于A的横坐标，高则是C的纵坐标的绝对值，同样可得面积为1/2。
因此，三角形ABC的面积＝1/2+1/2＝1。

2、设a>b，则a-b=120，
设最大公约数是k，并且a=mk,b=nk，
则(m-n)k=120--式1
另外，ab的最小公倍数[a,b]＝mnk，最大公约数(a,b)＝k
因此，mnk/k＝105，即
mn=105=3*5*7

下面将m、n的不同取值代入式1，看是否成立。
n＝1时，m=3*5*7，但3*5*7-1不能整除120，因此式1不成立。
n＝7时，m=3*5=15，3*5-7=8能整除120
n=5时，3*7-5=16不能整除120
n＝3时，5*7-3=32不能整除120
所以,m=3*5=15,n=7
k=120/(m-n)=120/8=15
a=mk=15*15=225
b=nk=7*15=105

所以，较大的数是225 。

Answer 2

1.那么假设A的坐标是(x1,y1）,C的坐标是（x2,y2）
满足式子：y1=kx1；y1=1/x1；y2=kx2；y2=1/x2
我们可以得到：kx1=1/x1 kx1*x1=1 kx2=1/x2 kx2*x2=1
三角形ABC的面积=三角形OAB的面积加上三角形OBC的面积
三角形OAB的面积=底*高/2=A的纵坐标的绝对值*(A的横坐标的绝对值)/2=x1*y1/2=kx1*x1/2=1/2
三角形OBC的面积=底*高/2=C的纵坐标的绝对值*(C的横坐标的绝对值)/2
=x2*y2/2=kx2*x2/2=1/2
所以三角形ABC的面积为1。

2.这里先把问题进行简化 不妨设a>b
我们从题意中可以得到：因为ab=最小公倍数*最大公约数
所以ab可被105整除 先证明a,b均可被3整除
否则的话a，b均不可被3整除，那么其最小公倍数也不可被3整除，与它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍可被3整除矛盾，所以a,b均可被3整除 ；同理可以证明a,b均可被5整除。那么此时的问题就简化为
a=15x b=15y 120=a-b=15*（x-y）
a,b的最大公约数=x,y的最大公约数*15
a,b的最小公倍数=x,y的最小公倍数*15
问题变为：已知正整数x,y之差为8，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么x,y中较大的数是
从这里我们容易看出x=7 y=15;从而有原先的a=225,b=105.

Answer 3

1.
画图看下，y=1/x的图像为双曲线
A,C关于原点对称
△ABC的底，为A（或C）的纵坐标的绝对值
高，为2x的绝对值
S△ABC=1/2*|Y|*|2X|=|XY|=1

2.
设最大公约数为k
两个正整数分别为
a=mk
b=nk
m,n为正整数
a-b=(m-n)k=120
a*b=最小公倍数×最大公因数
所以:a*b=105k^2
mnk^2=105k^2
mn=105
105=3*5*7
=1*105
=3*35
=5*21
=7*15
又m-n为120的因数

m，n分别为1,105，或分别为3,35，或分别为5,21，都不符题意
所以m，n分别为7,15
k=120/(15-7)=15
a，b中较大的是为15×15=225

Answer 4

1 由于k大于0 那么显然 AC两点是关于原点中心对称的。
那么画一草图，（我就不画了）易知——我们这里假定第一象限的为A点，三角形AOB 与三角形BOC共一个底BO 而因为AC两点关于原点O中心对称，所以这两个三角形高相等，实际上，所求面积就是AOB面积的两倍。
而A点是y=1/x上一点，即AB*BO=1，那么AOB 面积为0.5，我们所求三角形的面积就是1.

2 设最大公约数为N,105=3*7*5,那么AB一定含有这三个因子。作为最大公约数的N，排除了其他因子的存在。那么极端情况是，这三个因子的分配是105比1，但120不能整除104，那么有三种分配模式，分别是AB分别为21N和5N,15N和7N,3N和35N,这里我们提前把120分解，120=2*2*2*3*5，有3和5，我们可以直接剔除第一和第三模式，因为如果差值的因子和AB中含有的因子相同那么N就不再是最大公约数了。即可以肯定AB分别15N和7N,120=8N,N=15
那么AB 分别是105和225，那么答案就是225.

Answer 5

果断画图先！
得到S△ABC=A横坐标的绝对值乘以（A的纵坐标的绝对值加C的纵坐标的绝对值）除以二- -（通过连理把两个点的坐标用K表示出来- -）
得到A、C的横坐标为±（1/√k） （不确定A.C的位置，所以一个正一个－）
纵坐标就分别为±√k
带入果断得到S=1