Question

已知函数f(x)=x/ax+b,满足f(2)=1

已知函数f(x)=x/ax+b,满足f(2)=1,且f(x)=x有唯一解
（1）求f(x)的表达式；
（2）若an=f(an-1)(n>=2)且a1=1，求an（n为下标）

Answer 1

f(x)= x / ( ax+b)

f(2)=1 ... > >> 1= 2/(2a+b) ---->> 2a+b=2

x / ( ax+b) = x 有唯一解， 即 ax^2 + (b-1)x =0 , a=0 或 b=1
所以 a=0, b=2, 或者 a=1/2 , b=1

f(x)= x/2 或者 f(x)= x/(x/2 +1）

当 f(x)= x/2 时 An= 1/2 * An-1 , An/An-1= 1/2, a1=1 公比为 1/2 的等比数列 ， An= (1/2)^(n-1)

当 f(x)= x/(x/2 +1） 时 化简 An - An-1 = -1/2 * An * An-1
1/An - 1/An-1 = 1/2
{ 1/An} 为 首项为 1 ， 公差为 1/2 的等差数列
1/An = 1 + ( n-1)/2 = (n+1)/2

所以 An = 2/(n+1)

Answer 2

代入（2,1），可得2a+b=2
∵f(x)=x有唯一解，∴x(ax+b-1)=0有唯一解
∴x=0，b=1
代入2a+b=2，得
a=1/2
f(x)=x/[(1/2)x+1]

2)代入f（x）可得
a(n-1)=0.5ana(n-1)+an
a（n-1）-an=0.5ana(n-1)
两边同除以ana(n-1)
(1/an）-[1/a(n-1)]=1/2
∴1/an是等差数列。
1/a1=1
1/an=1+（n-1）*1/2=（n+1）/2
an=2/（n+1）（n∈N*）

Answer 3

f(x)=x/(ax+b)
f(2)=1...>>>1=2/(2a+b)---->>2a+b=2
x/(ax+b)=x有唯一解，即ax^2+(b-1)x=0,a=0或b=1
所以a=0,b=2,或者a=1/2,b=1
f(x)=x/2或者f(x)=x/(x/2+1）
当f(x)=x/2时An=1/2*An-1,An/An-1=1/2,a1=1公比为1/2的等比数列，An=(1/2)^(n-1)
当f(x)=x/(x/2+1）时化简An-An-1=-1/2*An*An-1
1/An-1/An-1=1/2
{1/An}为首项为1，公差为1/2的等差数列
1/An=1+(n-1)/2=(n+1)/2
所以An=2/(n+1)

Answer 4

由飞（2）=1可知，f(2)=2/2a+b=1
由(x)=x有唯一解可知，x/ax+b=x,&=(b-1)^=0
由两式可得b=1,a=1/2
f(x)=2x/x+2

Answer 5

f（x）=x吧