Question

如图所示，O为三角形ABC的外心，H为垂心，求证：向量OH=向量OA 向量OB 向量OC.

Answer 1

如图：O为三角形ABC的外心，H为垂心，求证：向量OH=向量OA +向量OB+ 向量OC.

证明：过O点做OD⊥AB,交AB于E，使OE=DE；连结AD，BD；则因为O是三角形ABC的外心，AE=BE，AB和OD互相垂直平分；即：OD=2OE；四边形ADBO是菱形，向量OD=OA+OB；连结CH，DH；根据垂心的性质；CH=2OE=OD；又因为CH⊥AB，OD⊥AB，所以OD//CH，所以，四边形DOCH是平行四边形（有两条边相互平行并相等的四边形是平行四边形）；所以OH=OD+OC=OA+OB+OC。证毕。