Question

设A,B均为n阶矩阵。证明:分块矩阵AB BA是可逆矩阵当且仅当A+B A-B均为可逆矩阵

Answer 1

反证，若e-ba不可逆，则存在x不为0，使(e-ba)x=0
(方和有非零解)
->
x=bax
，则(e-ab)ax=ax-abax=ax-ax＝0
也即(e-ab)y=0有非零解(其中y=ax)，与题设矛盾，所以e-ba可逆

Answer 2

利用行列式的性质
|A
B
B
A
|=
|A+B
B
A+B
A|=
|A+B
B
0
A-B|=|A+B||A-B|
再根据矩阵可逆的充要条件是行列式不为0可知命题成立。