Question

设fx=ax2+x-a,gx=2ax+5-3a(1)若fx在x∈[0,1]上最大值是5/4,求a值

Answer 1

（1）对fx求一阶导数，得f‘(x)=2ax+1;若a>0,在x=1取得最大值（此时一阶导数为正，即单调递增）但是最大值是1，不合题意;若a<0，在x=0处取得最大值，此时a=-5/4不符合条件；当a=0时，最大值在x=1处取得，但是最大值是1。因此，a=-5/4.
（2）
由（1）分析出
a三种情况
分别讨论。
a>0时，f（x）单调递增，则-a<f(x)<1;
5-3a<g(x)<5-a;
a=0时，f(x)单调递增，f(x)=x,则0<f(x)<1;g(x)=5;
a<0时，f(x)单调递减,则1<f(x)<-a（隐含着a<-1条件);5-a<g(x)<5-3a;
因为总存在g(x0)=f(x1)，则
a>0时，-a>=5-3a且1<=5-a
（和条件求交集）解得5/2<=a<=4；
a=0时，必定不成立；
a<0时，1>=5-a且-a<=5-3a（和条件一起求交集）解得a不存在。
综上，a的取值范围是
5/2<=a<=4