Question

求证 若函数y=F(X)的图象关于直线x=a 与x=b(b>a)都对称

求证 若函数y=F(X)的图象关于直线x=a 与x=b(b>a)都对称,则f(x)是周期函数,且2(b-a)是它的一个周期.

Answer 1

函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称
则f(x)=f(2a-x)
函数y=f(x)的图象关于直线x=b对称
则f(x)=f(2b-x)
所以f(2a-x)=f(2b-x)
设y=2b-x
那么f(y)=f[y+2(a-b)]
由于y是任意的
所以f(x)是以2(a-b)为周期的周期函数

Answer 2

y=F(X)的图象关于直线x=a对称有F(a-x)=F(a+x),
y=F(X)的图象关于直线x=b对称有F(b-x)=F(b+x)
F(a-(b-x))=F(a+(b-x))=F(b-(x-a))=F(b+(x-a))=F(b+a+x),故F(x)=F(x+2(b-a))