Question

同济大学《线性代数》，第五章：方阵的特征值与特征向量，图中两处画波浪线的地方为什么是等价的呢？

不太理解，λ1，λ2，... ，λn为特征方程的解，(λ1-λ)(λ2-λ)... (λn-λ)表示什么意义呢？为什么和多项式方程|A-λE|是等价的呢？

Answer 1

方阵的特征值方程是 λ 的 n 次方程，在复数范围内总有 n 个复根 λ1，λ2，...... , λn，
即 n 个特征值。故 该 n 次方程总可写成 (λ1-λ) (λ2-λ) ...... (λn-λ) = 0， 即二者等价。

追问

用每一个复根去和λ相减，然后乘在一起表示什么意思呢？

追答

上述 n 次方程在复数域内分解因式得来 (λ1-λ) (λ2-λ) ...... (λn-λ) = 0

追问

能描述一下这个分解因式的过程吗,谢谢！

追答

举个简单例子。设某 4 阶矩阵的特征值方程是 1-λ^4 = 0,
显然它有 4 个 复根，即 矩阵有 4 个复特征值 1，- 1， i， - i
则在复数域内分解因式后的 (1-λ) (-1-λ) (i-λ) (-i-λ) = 0，

则 (1-λ) (-1-λ) (i-λ) (-i-λ) = 0 与 1-λ^4 = 0 等价。

Answer 2

波浪线部分不就是f(lambda)定义的么？|A-lambda E|就等于那个式子，这个要记得的

追问

(λ1-λ)(λ2-λ)... (λn-λ)展开之后和第一个画波浪线地方的行列式也没有多少关系呀o(╥﹏╥)o

追答

你要明白，既然λ1满足方程f(λ)=|λ E -A|=0，那么(λ1 - λ)肯定时f(λ)的一个因式，这是初中多项式和方程的基础知识，根据这个很容易知道|λ E - A|=(λ1-λ)(λ2-λ)... (λn-λ)

追问

那为什么(λ1 - λ)肯定是f(λ)的一个因式呢？

追答

如果不是，怎么保证f(λ1)=0?

追问

f(λ1)=0和f(λ1 - λ)又有什么关系呢？

追答

......不知道怎么解释，不可能从多项式基础知识给你讲吧

追问

可能就是某一个基本的内容由于心理因素一开始就忽略了，导致一直没想明白，大佬在提醒一下吧~

追答

如果不是，怎么保证f(λ1)=0?

好好想想这句话