Question

这个极限里面的等价无穷小为什么不能直接换？

Answer 1

这是1的∞形式，称为不定型，当然不可以用拉，先定型，再定法。另外，加减法也不可以用等价无穷小代替，除非足够精确，比如，分母x立方，分子是x-sinx，你把分子给等价了，就是0，结果是错的。分子不能等价，减法不可以用等价无穷小，要用也是分子等价于1/6的x立方。

原因如下：

1. 在对无穷小比无穷小求极限的过程中,可以把分子或分母中的某个因子用等价无穷小替换.

2. 2. 加减时一般不能用等价无穷小替换,加减时候等价无穷小替换的条件是：lim a/b中极限存在,且极限不等于-1,则a+b中的无穷小a和b可以用它们的等价无穷小替换.

3. 拓展资料：其实大部分的加减法替换能成功都是偶然的。如果硬要说条件的话就是替换后必须是原极限要变成“两个极限加减的形式而且这两个极限都必须存在”

比如

lim (sinx+tanx+x)/x    （x->0)

=lim (x+x+x)/x

=3

## 等价无穷小

加减运算中，如果两部分的极限都存在，则可以直接使用等价无穷小，否则不可使用。

Answer 2

一般相乘除无穷小量可以直接进行替换的,相加减时要谨慎使用替换,如果减数和被减数都是等价无穷小量,就不能替换,如果不是等价无穷小量,可以进行替换,在这里sin(sinx)与x是等价无穷小量,所以就不等替换。结果是-1/3,你

Answer 3

x->0
tanx = x+(1/3)x^3 +o(x^3)
tan(tanx)
=tan[x+(1/3)x^3 +o(x^3)]
=[x+(1/3)x^3 +o(x^3)] +(1/3)[x+(1/3)x^3 +o(x^3)]^3 +o(x^3)
=[x+(1/3)x^3 +o(x^3)] +(1/3)[x^3+o(x^3)] +o(x^3)
=x+(2/3)x^3 +o(x^3)
tan(tanx) -x =(2/3)x^3 +o(x^3)
//
lim(x->0) [tan(tanx) -x ]/x^3
=lim(x->0) (2/3)x^3/x^3
=2/3

Answer 4

内容如下：
1、当被代换的量作为加减的元素时就不可以使用，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换。
2、被代换的量，在取极限的时候极限值不为0时候不能用等价无穷小替换。
在同一变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

相关内容解释
等价无穷小替换通常计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
求极限时，使用等价无穷小的条件：
1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0。
2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
分子绝对可以用，你放心好了，那是现成的等价无穷小。分子用了是2阶，所以你分母也要用的话，只能是2阶，所以解析正确。。。加减可以用等价无穷小，不过要考虑精确度。这里的精确度是2，所以分母等价成2阶就好了。。。其实就是带有佩亚诺的泰勒公式展开而儿。x-sinx/X立方，在X趋近0的时候，分子等价是3阶而不是X-X＝0，而是1/6的X的立方。所以结果不是0而是1/6，所以还是精确度问