Question

分块初等变换改变分块矩阵的秩吗?

Answer 1

不改变。因为分块矩阵的初等变换就相当于一系列普通的初等变换。

分块矩阵的初等变换中的倍乘变换是这样的，用一个可逆矩阵左乘分块矩阵的一个块行，或者用一个可逆矩阵右乘分块矩阵的一个块列，所以这种变换相当于一系列普通的初等变换。倍乘变换中用来乘的矩阵需要可逆的。

性质：

①同结构的分块上（下）三角形矩阵的和（差）、积（若乘法运算能进行）仍是同结构的分块矩阵。

② 数乘分块上（下）三角形矩阵也是分块上（下）三角形矩阵。

③ 分块上（下）三角形矩阵可逆的充分必要条件是的主对角线子块都可逆；若可逆，则的逆阵也是分块上（下）三角形矩阵。