Question

三阶矩阵有三个不同的特征值说明了什么？

Answer 1

三阶矩阵有三个不同的特征值说明这个矩阵有两个相同的特征值，且矩阵不能对角化，即不存在可逆矩阵p，使p^-1ap为对角矩阵。

证明：由已知，Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，Aα3=λ3α3

所以Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3

A^2β=A（Aβ）=λ1Aα1+λ2Aα2+λ3Aα3=λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3

所以（β，Aβ，A^2β）

=（α1+α2+α3，λ1α1+λ2α2+λ3α3，λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3）

=（α1，α2，α3）K

广义特征值

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν，其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。

Answer 2

说明该矩阵可相似对角化，根据可相似对角化充要条件（即n阶矩阵有n个线性无关的特征向量），从而在做题过程中可以利用这个特点以及相关特征值以及相似的性质解出秩的关系等等