Question

泰勒公式的佩亚诺余项为什么是○（（x-x0)^n）我的意思是余项里为什么必须是n次，不可以是其他次？

Answer 1

泰勒公式的佩亚诺余项是（（x-x0)^n）必须是n次，不可以是其他次的原因：在x趋于0时，sinx＝x－1／6x的3次方，在求极限是，会遇到函数中有变量或是遇到抽象函数，如果用洛必达法则你都不知道求导后极限是否存在，所以只能用泰勒公式。

过程：∵x→0时，[ln(1+x)]/x→1，∴[ln(1+x)]/x-1→0，(1/x)ln(1+x)=e^{ln[(1/x)ln(1+x)-1+1]}，视”(1/x)ln(l+x)-1”为整体，利用”x→0时，ln(1+x)~x”，即可得。

泰勒公式佩亚诺余项的多项式：

简单来说就是给定正整数n和点x0, 对于一个n次可导的函数f(x), 希望给出一个n次多项式g(x)（称为n阶的泰勒多项式），使得g(x)与f(x)在x0附近充分接近(不只是函数值，包括各阶导数值)。

这个g(x)就是书上写得那一大串，虽然复杂，但你心里要清楚g(x)就是一个关于变量x的n次多项式，项x^k前面的系数就是你写的f(k)x0/k!, 这里f(k)x0指的是f的k阶导数在x0点的取值，是一个常数。