Question

f是区间[0,1]上的可微函数,E={x属于[0,1] | f'(x)=0},证明m(f(E))=0

Answer 1

f是区间[0,1]上的可微函数,
f'是区间[0,1]上的连续函数.
连续函数如果>0,那么会在一个小开区间内都>0.
所以[0,1]被分成了如下的.
A=[0,1]交((a,b)并(c,d)并(e,f)并.并(y,z))
f'(x)在E-A上是0,在A上不是0.
所以f(x)在[b,c]等区间上的函数值不变.
[0,1]-A=[0,1]交([b,c]并[d,e]并[f,g]并.)
所以现在的问题就是,[0,1]-A的省略号,到底省略了多少个"并"?
所以我们只要看A有多少个"并"字即可.
因为任何一个开区间包含一个有理数,所以A的”并“的个数不会超过有理数全体的个数,也就是可数无穷.所以测度是0