Question

已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数，且f(1)1,若m、n属于[-1,1],m+n≠0，有[f(m)+f(n)]/m+n>0,

(1)解不等式f(x+½)＜f(1-x)

(2)若f(x)≤t²-2at+1,对所有的x∈ [-1,1］、a∈［-1，1］恒成立，求t的取值范围。

Answer 1

　　（1） 第一问其实可以不用：若m、n属于[-1,1],m+n≠0，有[f(m)+f(n)]/m+n>0,条件
　　f(1)=1 又是奇函数 f(0)=0 f(-1)=-1 所以f(x)在[-1,1]必定为增函数
　　解不等式 -1<=x+1/2<=1 -1<=1-x<=1 x+1/2<1-x 解得 0<x<1/4
　　你要用“若m、n属于[-1,1],m+n≠0，有[f(m)+f(n)]/m+n>0”也行 因为是奇函数f(n)=-f(n)
　　[f(m)+f(n)]/m+n>0, 把n换成-n [f(m)-f(n)]/m-n>0 拉个朗日中值定理得[f(m)-f(n)]/m-n=f(x)导数>0所以为增
　　（2）f(x)在[-1,1]上增，所以最大值为1 f(x)≤t²-2at+1,对所有的x∈ [-1,1］、a∈［-1，1］恒成立
　　t^2-2at+1>=f(x)最大值 t^2-2at>=0 分离变量
　　1. t>0时 a<t/2 a∈［-1，1］ 所以t>2
　　2.t=o时 0》=0可以
　　3.t<0时 a>t/2 a∈［-1，1］ t<-2
　　综上 t<-2 或t=o或 t>2