Question

1*1+2*2+3*3+4*4+......+n*n怎么算

Answer 1

结果为：n(n+1)(2n+1)/6

解题过程如下：

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性质：

若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq；在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”。等比数列前n项之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an*q)/(1-q)（q≠1） Sn=n*a1 （q=1）

在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。上述公式中A^n表示A的n次方。定义{cn}，cn=an·bn，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列。

那么这个数列就叫做差比数列.由差比数列的定义可知，等差数列即当bn公比为1时差比数列的特殊形式，等比数列即当an公差为0时差比数列的特殊形式.差比数列的性质，就是由成倍递增的一组数所组成的数列.求和公式，可用错位相减法推出 。

累和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an）。将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列。

Answer 2

解：利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 3

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
……
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
全都加起来,左边中间可以抵消掉
(n+1)^3-1=3*[n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+……+2^2+1^2]+3*[n+(n-1)+……+3+2+1]+n*1
而(n+1)^3-1=(n+1-1)[(n+1)^2+(n+1)+1]
=n(n^2+3n+3)
n+(n-1)+……+3+2+1=n(n+1)/2
所以n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+……+2^2+1^2={[(n+1)^3-1]-3*[n+(n-1)+……+3+2+1]-n*1}/3
=[n(n^2+3n+3)-3n(n+1)/2-n]/3
=[n(n^2+3n+3-3n/2-3/2-1)]/3
=n(2n^2+3n+1)/6
=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 4

=n(n+1)(2n+1)/6