Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N*

求数列{Sn}的通项公式，并求出使得S（n+1）>Sn成立的最小整数n

速度求解。谢谢。鞠躬。

Answer 1

Sn=n-5an-85 (1)
S（n+1）=n+1-5a（n+1）-85 (2)
(2)-(1)整理得6a(n+1)=1+5an
即a(n+1)-1=(5/6)(an-1)
又由S1=a1=1-5a1-85得a1=-14
所以{an-1}为首项-15,公比5/6的等比数列
所以an=(-15)*（5/6）^(n-1)+1
Sn=(-15)*[(5/6)^0+(5/6)^1+……+(5/6)^(n-1)]+n
=[6-6*(5/6)^(n-1)]*(-15)+n
则S(n+1)-Sn=6*15[(5/6)^n-(5/6)^(n-1)]+1
=1-15*(5/6)^(n-1)>0
又n∈N*
得n>=16
故S（n+1）>Sn成立的最小整数n为16

Answer 2

S(1)=1-5a(1)-85=a(1)-->a(1)=-14
a(n)=S(n)-S(n-1)=1-5a(n)+5a(n-1)
6a(n)=1+5a(n-1)
设a(n)-x=q(a(n-1)-x),-->a(n)=qa(n-1)+(1-q)x
对比得到：q=5/6,x=6
{a(n)-6}是等比数列，等比为5/6，首项是-8
a(n)=6-8(5/6)^(n-1)
S(n)=n-85-5a(n)=n-85-30+40(5/6)^(n-1)=n-115+40(5/6)^(n-1)
S(n+1)-S(n)=a(n+1)=6-8(5/6)^n>0
(5/6)^n<3/4
nln(5/6)<ln(3/4)
n>ln(3/4)/ln(5/6)=ln(4/3)/ln(6/5)=log(1.2)(4/3)以1.2为底的对数
1.2^n>4/3
n=2