Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*（Ⅰ）证明：{an-1}是等比数列；（Ⅱ）是否存在正整数n

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*（Ⅰ）证明：{an-1}是等比数列；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得Sn＜n-45512？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：当n=1时，a₁=-14，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-5a_n+5a_n-1+1，
所以an?1＝

5

6

(an?1?1)，…．（4分）
又a₁-1=-15≠0，
所以数列{a_n-1}是等比数列．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：an?1＝?15?(

5

6

)n?1，
得an＝1?15?(

5

6

)n?1，
所以Sn＝n?15×[(

5

6

)0+

5

6

+(

5

6

)2+…+(

5

6

)n?1]
=n-15×

1?( 5 6 )n

1? 5 6

，
从而Sn＝75?(

5

6

)n?1+n?90（n∈N^*），…．（8分）
由S_n＜n?

455

12

  ，
得(

5

6

)n?1＜

25

36

，又n＞3，故存在最小的n=4…．（12分）