Question

已知a,b,c为实数,若关于x的不等式-1<ax²+bx+c<1的解为-1<x<3,求a的取值

围
已知a,b,c为实数,若关于x的不等式-1<ax²+bx+c<1的解为-1<x<3,求a的取值范围

Answer 1

当a=0时，不等式-1<bx+c<1的解为-1<x<3，
因此-b+c=-1，3b+c=1或-b+c=1，3b+c=-1
解得b=1/2,c=-1/2或b=-1/2,c=1/2

当a>0时，函数f(x)=ax²+bx+c的图象是开口向上的抛物线，由已知f(-1)=f(3)=1且f(1)>-1
即b=-2a，c=1-3a，a+b+c>-1
所以0<a<1/2

当a<0时，函数f(x)=ax²+bx+c的图象是开口向下的抛物线，由已知f(-1)=f(3)=-1且f(1)<1
即b=-2a，c=-1-3a，a+b+c<1
所以-1/2<a<0

综上，a的取值范围是（-1/2,1/2)

追问

为什么“f(-1)=f(3)=1且f(1)>-1？”

Answer 2

当a=0时等式-1<bx+c<1解-1<x<3
因此-b+c=-13b+c=1或-b+c=13b+c=-1
解得b=1/2,c=-1/2或b=-1/2,c=1/2

当a>0时函数f(x)=ax²+bx+c图象开口向上抛物线由已知f(-1)=f(3)=1且f(1)>-1
即b=-2ac=1-3aa+b+c>-1
所0<a<1/2

当a<0时函数f(x)=ax²+bx+c图象开口向下抛物线由已知f(-1)=f(3)=-1且f(1)<1
即b=-2ac=-1-3aa+b+c<1
所-1/2<a<0

综上a取值范围（-1/2,1/2)

Answer 3

我是这么想的，把x=-1带入得出来的式子等于-1，x=3代人得出来的式子等于3；x=1是对称轴，-b/2a=1，三个方程联立求abc。

Answer 4

当X=0时，-1<C<1 C=0
当X<0时，ax²+bx<0， -1<C<1
当X>0时，0<ax²+bx<1
∴ax²+bx<0
ax²+bx<1 能力有限。。好像不是这样的，
= =