Question

如图1,在正方形ABCD中,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,且AE=BF=CG=DH

求证EG与FH存在什么特殊的位置关系或数量关系

Answer 1

解：（1）四边形EFGH是正方形。
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵HA=EB=FC=GD，
∴AE=BF=CG=DH，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
∴HE=EF=FG=GH，
∴四边形EFGH是菱形，
由△DHG≌△AEH知∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∴四边形EFGH是正方形；

（2）答案1
过程：第三个图
AH=EB=1
AE=2
HE=√5（根号5）
OH=OE=√5/2（根号下2分之5）（原因是因为EFGH是正方形，∠HOE=90度）
知道OH、OE，所以OHE面积=5/4，AHE面积=1，OHE+AHE=AEOH=9/4
4个四边形总面积=9
新组成的正方形面积=2√5/2*2√5/2（2倍的根号下2分之5）=10
阴影部分的面积=新组成的-4个四边形面积=10-9=1

Answer 2

它俩的位置关系是相互垂直，数量关系是相等。

追问

能写出证明过程吗，谢谢了。

追答

呵呵，还要证明啊？

这么证：依次连接EFGHE，就形成了一个新的四边形EFGH，因为AE=BF=CG=DH，ABCD又是正方形，很容易证明HA=DG=CF=BE（没问题吧？），再加上角A、角B、角C、角D都是直角，根据边角边定理，三角形AEH、三角形BFE、三角形CGF、三角形DHG四者都是全等的。

所以角AEH加角FEB等于九十度。能得出角HEF是直角，同理可证角EFG、角FGH、角GHE都是直角。刚才又已经证明了EF=FG=GH=HE，也就是说，四边形EFGH也是正方形，而正方形的对角线是相等、而且是相互垂直平分的。

明白了吧？