Question

高考数学求助 已知函数f(x)=lnx-1/2ax^2-2x

已知函数f(x)=lnx-1/2ax^2-2x（1)若a=-1/2 且关于x的方程f(x)=-1/2x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围 (2)设各项为正的数列{an}满足：a1=1， a（n+1）=lnan+an+2 n∈n* 求证an<=2^n-1

Answer 1

1）lnx+1/4 x^2-2x=-1/2x+b 令 lnx+1/4 x^2-3/2x=b=F(X) 令F'(x)=1/x+1/2 x-3/2>0 x^2-3x+2>0 x>2或x<1则在x>2或x<1F（x）单调递增，在（1,2）单调递减所以极大值为F（1）=-5/4，极小值为F（2）=ln2-2, 最大值为F(4)=ln4-2，由题意恰有两个不相等的实数根，即与直线Y=b有两个不同的交点，由图知ln2-2<b<=-5/4 2)证明：首先考察f(x)=lnx-(x-1)(x>=1) （与题目里的f（x）区别开来）
f(x)'=1/x-1=(1-x)/x<0
=>当x>=1时f(x)<=f(1)=>lnx-(x-1)<=0=>lnx<=x-1
对于本题，显然，a(n)>1
=>a(n+1)=ln(a(n))+a(n)+2<=a(n)-1+a(n)+2=2a(n)+1
=>a(n+1)+1<=2(a(n)+1)....<=2^n(a(1)+1)=2^(n+1)
=>A(n+1)<=2^(n+1）-1
将n+1替换成n有
An≤2^n -1
证毕！