Question

已知正数x,y满足x+y=1则z=(x+1/x)(y+1/y)最小值为

我算到了xy + 2/(xy) - 2
但是怎么也想不通。为什么最后的值为25/4

Answer 1

(x + 1/x) * (y + 1/y)
= [(x^2 + 1)/x] * [(y^2 + 1)/y]
= [x^2 + y^2 + (xy)^2 + 1]/xy
= [(x+y)^2 - 2xy + (xy)^2 + 1]/xy
将x+y=1代入：
= [(1 - 2xy + (xy)^2 + 1]/xy
= xy + 2/(xy) - 2
由于x+y ≥ 2√xy，则 0 ＜ xy ≤1/4
对于对钩函数xy + 2/(xy)，拐点是√2 >1/4
所以xy = 1/4时取最小值
即原式 = 1/4 + 8 -2 = 25/4

追问

对于对钩函数xy + 2/(xy)，拐点是√2 >1/4
这步看不懂。。可以解释下么。。

追答

xy + 2/(xy)

当xy=√2时，函数xy + 2/(xy)有最小值
上面求出0 ＜ xy ≤1/4
√2 >1/4

所以xy取不到√2
所以当xy=1/4是有最小值

对勾函数S=xy + 2/(xy)
当在xy在0到√2时是单调递减的

追问

就是说假如没有定义域的限制的话那最小值就是2根号2

追答

那就不能满足x+y=1了
而
z=(x+1/x)(y+1/y)
化简为xy + 2/(xy) - 2

是用到了x+y=1

追问

如果题目是是这样0<xy,则xy+2/xy最小值？那是不是最小值是2根号2

追答

是
0=2√((xy)+(2/xy))=2√2
等号当且仅当xy=√2时取到

追问

嗯。原来没注意到要取定义域。谢谢！