Question

设f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证：(1)a>0,且-2<b/a<-1 (2)方程f(x)=0,在(0,1)内有两个根

麻烦解释下红框框

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Answer 1

追问

同样谢谢！

Answer 2

方程f(x)=0,在(0,1)内有两个根,f(0)>0,f(1)>0这里的是已知中告诉你的。
那么思路在于寻找(0,1)内存在一个值m，使得f（m）<0
因为，对于二次函数而言。如果对与两个x值，对应的y值一正一负，那么其中肯定存在一个使y=0的点，即二次函数图象与x轴的交点。
所以这个题目的关键就是去寻找这个点，
然后解析中，用了顶点，其实顶点相对比较特殊，而又在(0,1)内。所以比较好证明
f(0)=c>0，f(1)=3a+2b+c>0。
这是第二题，那么第一题中证出来的a>0，-2<b/a<-1 是可以用的。
f（-b/3a）=3a（-b/3a）^2+2b（-b/3a）+c
=b^2/3a-2b^2/3a+c
=(3ac-b^2)/3a
那么关键就在证明(3ac-b^2)/3a这个小于0了、
而已经知道a>0，那么就要证明3ac-b^2<0
题目中还告诉你个条件a+b+c=0,则b=-a-c。b^2=a^2+2ac+c^2
所以3ac-b^2=3ac-（a^2+2ac+c^2）=2ac-a^2-c^2-ac=-（a-c)^2-ac
这里a>0,c>0,所以ac>0,所以-ac<0
（a-c)^2≥0.所以-（a-c)^2≤0
所以-（a-c)^2-ac<0
即3ac-b^2<0.则
f（-b/3a）=(3ac-b^2)/3a<0
然后利用最前面说过的理由去说明
方程f(x)=0,在(0,1)内有两个根