Question

（2014?南京联合体一模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF、BE交于点G，连接CE、DF

（2014?南京联合体一模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF、BE交于点G，连接CE、DF交于点H．（1）求证：BE=CE；（2）求证：四边形EGFH是菱形．

Answer 1

证明：如图            
（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°．
∵E是AD的中点，∴AE=DE．
在△ABE和△DCE中

AB＝DC ∠BAE＝∠CDE AE＝DE

，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴BE=CE；
（2）∵AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=DE=BF=CF
又∵AD∥BC，
∴四边形AECF、BEDF是平行四边形．
∴GF∥EH、EG∥FH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
在△AEG和△FBG中

∠AEG＝∠FBG ∠EAG＝∠BFG AE＝BF

∴△AEG≌△FBG（AAS）
∴EG=GF．
∴四边形EGFH是菱形．