Question

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω=1，求函数F（x）=f（x）+f（x-π3）的单调递增

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω=1，求函数F（x）=f（x）+f（x-π3）的单调递增区间；（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移π6个单位，再往上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若函数y=g（x）在区间[m，10π]上有20个零点：a1，a2，a3，…，a20，求实数m的取值范围并求a1+a2+a3+…+a19+a20的值．

Answer 1

（I）当ω=1时，函数F（x）=f（x）+f（x-

π

3

）=2sinx+2sin（x-

π

3

）=3sinx-

3

cosx=2

3

sin（x-

π

6

），
令 2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，故函数的递增区间为 [2kπ?

π

3

，2kπ+

2

3

π]，k∈Z．
（II）由题意可得 g（x）=2sin2（x+

π

6

）+1=2sin（2x+

π

3

）+1，令g（x）=0，可得 sin（2x+

π

3

）=-

1

2

，
2x+

π

3

=2kπ+

7π

6

，或2x+

π

3

=2kπ+

11π

6

，即 x=kπ+

5π

12

，或 x=kπ+

3π

4

，k∈z．
若函数y=g（x）在区间[m，10π]上有20个零点，则区间[m，10π]恰好包含10个周期，
函数在区间[m+kπ，m+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[m，10π]上有20个零点．
∴m∈（-

π

4

，

5π

12

]，a₁+a₂+a₃+…+a₁₉+a₂₀=[

5π

12

+（π+

5π

12

）+（2π+

5π

12

）+…+（9π+

5π

12

）]+[

3π

4

+（π+

3π

4

）+（2π+

3π

4

）+…+（9π+

3π

4

）]
=

295π

6

+

105π

2

=

305π

3

．