Question

已知函数f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数f（x）图象的对称轴

已知函数f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程和单调递减区间；（2）若函数g（x）=f（x）-f（π4-x），求函数g（x）在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．

Answer 1

f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1=sin2ωx-cos2ωx=

2

sin（2ωx-

π

4

）．
由于函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2ω

=π，故ω=1，即函数f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）．
（1）令2x-

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z），得x=

kπ

2

+

3π

8

（k∈Z），
即为函数f（x）图象的对称轴方程．
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），得

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ（k∈Z），
即函数f（x）的单调递减区间是[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]（k∈Z）．
（2）g（x）=f（x）-f（

π

4

-x）=

2

sin（2x-

π

4

）-

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