Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=12，点D在边AC上（不与A、C重合），连结BD，F为BD中点．（1）若过点D

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=12，点D在边AC上（不与A、C重合），连结BD，F为BD中点．（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1，当D为AC中点时，求tan∠DBE的值；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示，求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=3AD=6，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD的中点，则线段CF长度的最大值为4+354+35．

Answer 1

（1）设DE=x，
∵DE⊥AB，tan∠BAC=

1

2

，
∴

DE

AE

=

BC

AC

=

1

2

，
故AE=2x，则AD=

5

x，
∵D为AC中点，
∴AC=2

5

x，
则BC=

5

x，
由勾股定理得出：AB=5x，
则BE=3x，
故tan∠DBE的值为：

DE

BE

=

x

3x

=

1

3

；

（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．
由题意，tan∠BAC=

1

2

，
∴

BC

AC

=

DE

AE

=

1

2

．
∵D、E、B三点共线，
∴AE⊥DB．
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，
∴∠QBC=∠EAQ．
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG．
∴△BCG∽△ACE．
∴

BC

AC

=

GB

AE

=

1

2

．
∴GB=DE．
∵F是BD中点，
∴F是EG中点．
在Rt△ECG中，CF=

1

2

EG，
∴BE-DE=EG=2CF；

（3）情况1：如图3，当AD=

1

3

AC时，取AB的中点M，连接MF和CM，
∵∠ACB=90°，tan∠BAC=

1

2

，且BC=6，
∴AC=12，AB=6

5

．
∵M为AB中点，
∴CM=3

5

，
∵AD=

1

3

AC，
∴AD=4
．∵M为AB中点，F为BD中点，
∴FM=

1

2

AD=2．
如图4：当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，
此时CF=CM+FM=2+3

5

．
情况2：如图5，当AD=

2

3

AC时，取AB的中点M，连接MF和CM，
类似于情况1，可知CF的最大值为4+3

5

．
综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的三等分点时，线段CF的长度取得最大值为：4+3

5

．
故答案为：4+3

5

．