Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列， cosB= 3 4 ．（1）若ac

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列， cosB= 3 4 ．（1）若ac=2，求a+c的值；（2）求 1 tanA + 1 tanC 的值．

Answer 1

（1）因a，b，c成等比数列，所以b 2 =ac，再由余弦定理得b 2 =a 2 +c 2 -2accosB，代入可得a 2 +c 2 =5，则（a+c） 2 =a 2 +c 2 +2ac=9，所以a+c=3． （2）化简 1 tanA + 1 tanC = cosA sinA + cosC sinC = cosAsinC+sinAcosC sinA?sinC = sin(A+C) sinAsinC = sinB sinAsinC 又因b 2 =ac，则由正弦定理得sin 2 B=sinAsinC，代入上式， 有 1 tanA + 1 tanC = sinB sin 2 B = 1 sinB = 4 7 7 ．