Question

已知等差数列{a n }的前三项为a-1，4，2a，记前n项和为S n ．（Ⅰ）设S k =2550，求a和k的值；（Ⅱ）设b

已知等差数列{a n }的前三项为a-1，4，2a，记前n项和为S n ．（Ⅰ）设S k =2550，求a和k的值；（Ⅱ）设b n = S n n ，求b 3 +b 7 +b 11 +…+b 4n-1 的值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得a 1 =a-1，a 2 =4，a 3 =2a，又a 1 +a 3 =2a 2 ， ∴（a-1）+2a=8，即a=3．（2分） ∴a 1 =2，公差d=a 2 -a 1 =2． 由S k =ka 1 + k(k-1) 2 d ，得（4分） 2k+ k(k-1) 2 ×2=2550 即k 2 +k-2550=0．解得k=50或k=-51（舍去）． ∴a=3，k=50．（6分） （Ⅱ）由S n =na 1 + m(n-1) 2 d，得 S n =2n+ n(n-1) 2 ×2=n 2 +n（8分） ∴b n = S n n =n+1（9分） ∴{b n }是等差数列． 则b 3 +b 7 +b 11 +…+b 4n-1 =（3+1）+（7+1）+（11+1）+…+（4n-1+1） =（3+7+11+…+4n-1）+n = (3+4n-1)n 2 +n = (4n+2)n 2 +n（11分） ∴b 3 +b 7 +b 11 +…+b 4n-1 =2n 2 +2n（12分）