已知椭圆x24+y23＝1，过椭圆的右焦点F的直线l与椭圆交于点A、B，定直线x=4交x轴于点K，直线KA和直线KB的
已知椭圆x24+y23＝1，过椭圆的右焦点F的直线l与椭圆交于点A、B，定直线x=4交x轴于点K，直线KA和直线KB的斜率分别是k1、k2．（1）若直线l的倾斜角是45°...
已知椭圆x24+y23＝1，过椭圆的右焦点F的直线l与椭圆交于点A、B，定直线x=4交x轴于点K，直线KA和直线KB的斜率分别是k1、k2．（1）若直线l的倾斜角是45°，求线段AB的长；（2）求证：k1+k2=0．
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（1）解：直线l的方程是y=x-1，代入椭圆方程整理得：7x2-8x-8=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=-
．…2分
|AB|=
?|x1-x2|=
?
=
．…5分
（2）证明：当l⊥x轴时，由椭圆的对称性易知k1+k2=0；…6分
当l不与x轴垂直时，设其方程是：y=k（x-1）代入椭圆方程整理得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，易知其判别式△＞0恒成立，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
．…9分
而K（4，0）
则k1+k2=
+
=
=
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
|AB|=
| 1+k2 |
| 2 |
(
|
| 24 |
| 7 |
（2）证明：当l⊥x轴时，由椭圆的对称性易知k1+k2=0；…6分
当l不与x轴垂直时，设其方程是：y=k（x-1）代入椭圆方程整理得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，易知其判别式△＞0恒成立，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| 4k2?12 |
| 3+4k2 |
而K（4，0）
则k1+k2=
| y1 |
| x1?4 |
| y2 |
| x2?4 |
| x1y2+y1x2?4(y1+y2) |
| (x1?4)(x2?4) |
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