Question

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱AB，CC1，D1A1，BB1的中点．（1）证明：FH∥平面A

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱AB，CC1，D1A1，BB1的中点．（1）证明：FH∥平面A1EG；（2）证明：AH⊥EG；（3）求三棱锥A1-EFG的体积．

Answer 1

解：（1）证明：∵FH∥B₁C₁，B₁C₁∥A₁G，∴FH∥A₁G
又A₁G?平面A₁GE，FH?平面A₁GE，∴FH∥平面A₁EG
（2）∵A₁G⊥平面ABB₁A₁，AH?平面ABB₁A₁，∴AH⊥A₁G
又∵△ABH≌△A₁AE，∴∠HAB=∠EA₁A∵∠A₁AH+∠HAB=90°，∴∠A₁AH+∠EA₁A=90°，∴AH⊥A₁E
又∵A₁G∩A₁E=A₁，∴AH⊥平面A₁EG，∵EG?平面A₁EG，故AH⊥EG
（3）连接HA₁，HE，HG，由（1）得FH∥平面A₁EG，∴VH?A1EG＝VF?A1EG
又S△A1EH＝SABB1A1?S△A1AE?S△A1B1H?S△EBH＝1×1?

1

4

?

1

4

?

1

8

＝

3

8

，A1G＝

1

2

∴VA1?EFG＝VF?A1EG＝VH?A1EG＝VG?A1EH＝

1

3

S△A1EH?A1G＝

1

3

×

3

8

×

1

2

＝

1

16