Question

已知二次函数y=x2-2（m-1）x+m2-2．（1）证明：不论m为何值，二次函数图象的顶点均在同一直线上，求出此

已知二次函数y=x2-2（m-1）x+m2-2．（1）证明：不论m为何值，二次函数图象的顶点均在同一直线上，求出此直线的函数解析式；（2）若二次函数图象在x轴上截得的线段长为4，求出此二次函数的解析式．

Answer 1

（1）二次函数的顶点坐标为（m-1，2m-3），
顶点坐标在某一直线的图象上，
即横坐标为x=m-1，
纵坐标为y=2m-3=2（x+1）-3
y=2x-1．
故不论m为何值，二次函数的顶点都在直线y=2x-1上；

（2）设二次函数的图象与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），
由已知|x₂-x₁|=4，再利用根与系数的关系，得

x1+x2＝2(m?1) x1 x2 ＝m2?2

又（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
∴16=4（m-1）²-4（m²-2）
解得：m=-

1

2

∴原二次函数的解析式为：y=x²+3x-

7

4

．