Question

已知函数 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在 上是减函数，在 上是增函数，（1）如果函数 的值

已知函数 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在 上是减函数，在 上是增函数，（1）如果函数 的值域为[6，+∞），求b的值； （2）研究函数 （常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数 和 （常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 （n是正整数）在区间上的最大值和最小值（利用你的研究结论）

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Answer 1

解：（1）由所给函数 性质知， 当x＞0时，x= 时函数取最小值2 ； 所以对于函数 ，当x= 时取得最小值2 ， 所以 ， ∴b=log 2 9； （2）设 ，则 ， 由条件知在 时为单调增函数， 时为单调递减函数， 而t=x 2 在（0，+∞）为单调增函数，在（-∞，0）上为单调减函数， 所以由复合函数单调性知在 均单调递增， 解得 ， 即 的单调增区间为 ； 当 均单调递减， 解得 ， 即函数 的单调减区间为 。 （3）由函数 的性质将这种类型的函数推广如下： ①当n为偶数时（n＞0），函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ； ②当n为奇数时（n＞0）函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ； 对于 ， 而函数 上为减函数，在[1，2]上为增函数， ∴当x=1时， 的最小值为 时， 的最大值 ， 所以F(x)在x=1时，取最小值为F(1)=2 n +2 n =2 n+1 ， 当x=2和 时， F(x)的最大值为F(2)= 。